Question

【題目】如圖，在中，，動點從點出發， 在邊上以每秒的速度向點勻速運動，同時動點從點出發，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，設運動時間為秒，連接．

若，求的值；

若與相似，求的值；

當為何值時，四邊形的面積為

Answer 1

【答案】（1）（2）當t=或t=時，△MBN與△ABC相似．（3）當或時，四邊形的面積是

【解析】

（1）由已知條件得出AB=10，BC= 由題意知：BM=2t，CN=，BN= 由BM=BN得出方程2t=解方程即可；

（2）分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值； ②當△NBM∽△ABC時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

（3）利用四邊形的面積等于的面積減去的面積列方程求解即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴∠B=30°， ∴AB=2AC=10，BC=

由題意知：BM=2t，CN=

∴BN=

∵BM=BN，

∴2t=

解得：

（2）分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，

則

即

解得：

②當△NBM∽△ABC時，

則

即

解得：

綜上所述：當t=或t=時，△MBN與△ABC相似．

（3）由（1）知：∠ACB=90°，AC=5，AB=2AC=10，BC=

過作于，

又

四邊形的面積為，

解得：

即當或時，四邊形的面積為．