Question

【題目】已知：如圖，在ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AE=CF，連接EF，分別交AB，CD于點H，G，連接DH，BG．

（1）求證：△AEH≌△CFG；

（2）連接BE，若BE=DE，則四邊形BGDH是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】分析: （1）先根據平行四邊形的性質可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根據平行線的性質及補角的性質得出∠E=∠F，∠EAH=∠FCG，從而利用ASA可作出證明；

（2）根據平行四邊形的性質及（1）的結論可得BH∥DG，BH=DG,則由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形BHDG是平行四邊形，再證明BH=DH即可得到四邊形BHDG是菱形

詳解:

（1）四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAB=∠BCD，

∴∠EAH=∠FCG，

又∵AD∥BC，

∴∠E=∠F．

∵在△AEH與△CFG中，

，

∴△AEH≌△CFG（ASA）；

（2）連接BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD且AB=CD，

又由（1）得AH=CG，∠AEH=∠F，AE=CF，

∴BH∥DG，BH=DG,，

∴四邊形BHDG是平行四邊形，

∵AE=CF，AD=BC，

∴DE=BF，

∵BE=DE，

∴BE=BF，

∴∠BEF=∠F，

∵∠AEH=∠F，

∴∠BEF=∠DEF，

在△BEH和△DEH中，

∵，

∴BH=DH，

∵四邊形BHDG是平行四邊形，

∴四邊形BHDG是菱形．

點睛: 本題主要考查了平行四邊形的性質、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握ASA和SAS證明兩個三角形的判定以及菱形的判定定理，此題有一定的難度.