Question

（2004•廣安）已知關于x的方程x²-（2k+1）x+k²-1=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，且（x₁-2）（x₂-2）=7-3k，求k的值．

Answer 1

分析：由關于x的方程有兩個不相等的實數根，得到根的判別式大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，再利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，將已知的等式變形后，把表示出的兩根之和與兩根之積代入得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：∵x²-（2k+1）x+k²-1=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-1，且△=（2k+1）²-4（k²-1）=4k+5＞0，即k＞-

5

4

，
∵（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=k²-1-2（2k+1）+4=7-3k，
整理得：k²-k-10=0，
解得：k=

1± 41

2

，
∴k=

1+ 41

2

或k=

1- 41

2

（舍去），
則k的值為

1+ 41

2

．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0，當b²-4ac≥0時，方程有解，分別設為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．