Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接BC．
（1）求證：∠PCA=∠B；
（2）填空：已知∠P=40°，AB=12cm，點Q在 上，從點A開始以πcm/s的速度逆時針運動到點C停止，設運動時間為ts． ①當t=時，以點A、Q、B、C為頂點的四邊形面積最大；
②當t=時，四邊形AQBC是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，連接OC．

∵PC是切線，OC是半徑，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°

∴∠PCA+∠ACO=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠B+∠OCA=90°，

∴∠PCA=∠B．

（2）3s；
【解析】解：（2）①如圖2中，當點Q在AB下方， = 時，四邊形AQBC的面積最大，此時t= =3s．
所以答案是3s．
②如圖3中，當 = 時，四邊形AQBC是矩形，連接CQ與AB交于點O．

∵∠P=40°，∠PCO=90°，
∴∠POC=50°，
∴∠AOQ=130°，
∴弧AQ的長= = ，
∴t= = s．
所以答案是 s．