Question

【題目】已知：A是以BC為直徑的圓上的一點，BE是⊙O的切線，CA的延長線與BE交于E點，F是BE的中點，延長AF，CB交于點P．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AB，OA，OF；

∵F是BE的中點，

∴FE=BF．

∵OB=OC，

∴OF∥EC．

∴∠C=∠POF．

∴∠AOF=∠CAO．

∵∠C=∠CAO，

∴∠POF=∠AOF．

∵BO=AO，OF=OF，

∴∠OAP=∠EBC=90°．

∴PA是⊙O的切線

（2）解：∵BE是⊙O的切線，PA是⊙O的切線，

∴BF=AF=3，

∴BE=6．

∵BC=8，∠CBE=90°，

∴CE=10．

∵BE是⊙O的切線，

∴EB2=AEEC．

∴AE=3.6．

【解析】（1）要想證PA是⊙O的切線，只要連接OA，求證∠OAP=90°即可；（2）先由切線長定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根據勾股定理求出CE，最后由切割線定理求出AE的長．