Question

【題目】正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E、F分別在OC、OB上，且OE=OF．

（1）如圖1，若點E、F在線段OC、OB上，連接AF并延長交BE于點M，求證：AM⊥BE；

（2）如圖2，若點E、F在線段OC、OB的延長線上，連接EB并延長交AF于點M．

①∠AME的度數為 ；

②若正方形ABCD的邊長為3，且OC=3CE時，求BM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①90° ；②

【解析】

（1）由“SAS”可證△AOF≌△BOE，可得∠FAO=∠OBE，由余角的性質可求AM⊥BE；

（2）①由“SAS”可證△AOF≌△BOE，可得∠FAO=∠OBE，由余角的性質可求∠AME的度數；

②由正方形性質可求AC=6，可得OA=OB=OC=3，AE=7，OE=4，由勾股定理可求BE=5，通過證明△OBE∽△MAE，可得，可求ME的長，即可得BM的長．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

∵AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，OE=OF

∴△AOF≌△BOE（SAS）

∴∠FAO=∠OBE，

∵∠OBE+∠OEB=90°，

∴∠OAF+∠BEO=90°

∴∠AME=90°

∴AM⊥BE

（2）①∵四邊形ABCD是正方形

∴AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

∵AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，OE=OF

∴△AOF≌△BOE（SAS）

∴∠FAO=∠OBE，

∵∠OBE+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OBE=90°

∴∠AME=90°

故答案為：90°

②∵AB=BC=3，∠ABC=90°

∴AC=6

∴OA=OB=OC=3

∵OC=3CE

∴CE=1，

∴OE=OC+CE=4，AC=AC+AE=7

∴BE==5

∵∠AME=∠BOE=90°，∠AEM=∠OEB

∴△OBE∽△MAE

∴

∴

∴ME=

∴MB=ME-BE=-5=