Question

【題目】如圖，⊙E的圓心E(3，0)，半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(點A在點B的上方)，與x軸的正半軸相交于點C；直線l的解析式為y=x＋4，與x軸相交于點D；以C為頂點的拋物線經過點B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由；

(3) 動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時，求出點P的坐標及最小距離.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x-4；（2）直線l與⊙E相切與A．(3) 拋物線上的動點P的坐標為（2，-）時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為．

【解析】

試題分析：（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，結合垂徑定理求出OC的長，從而得到C點坐標，進而得到拋物線的解析式；

（2）求出點D的坐標為（-，0），根據△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線l與⊙E相切與A．

（3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．設M（m，m+4），P（m，-m2+m-4），得到PM=m+4-（-m2+m-4）=m2-m+8=（m-2）2+，根據△PQM的三個內角固定不變，得到PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO=×=，從而得到最小距離．

試題解析：（1）如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA=，

∵OC⊥AB，

∴由垂徑定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，-4），C（8，0），

∵拋物線的頂點為C，

∴設拋物線的解析式為y=a（x-8）2，

將點B的坐標代入上解析的式，得64a=-4，故a=-，

∴y=-（x-8）2，

∴y=-x2+x-4為所求拋物線的解析式，

（2）在直線l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=-，

∴點D的坐標為（-，0），

當x=0時，y=4，

∴點A在直線l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵，，

∴，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與⊙E相切與A．

（3）如圖2，過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M．

設M（m，m+4），P（m，-m2+m-4），則

PM=m+4-（-m2+m-4）=m2-m+8=（m-2）2+，

當m=2時，PM取得最小值，

此時，P（2，-），

對于△PQM，

∵PM⊥x軸，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三個內角固定不變，

∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關系不變，

∴當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO=×=，

∴當拋物線上的動點P的坐標為（2，-）時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為．