Question

【題目】如圖，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線BA運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線AO運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒．

求此拋物線的表達(dá)式；

求當(dāng)為等腰三角形時(shí)，所有滿足條件的t的值；

點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，請直接寫出t為何值時(shí)，的面積達(dá)到最大？此時(shí)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，使得≌？若存在，請直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為、或或4；（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)滴啊如拋物線的解析式可求得b、c的值，從而可得到拋物線的解析式；

（2）運(yùn)動t秒后，AQ=t，BP=2t，先求得AB的長，然后分為QA=QP，AP=AQ，PA=PQ三種情況，求解即可；

（3）過點(diǎn)P作PF⊥AO于點(diǎn)F，延長FP交拋物線與點(diǎn)T．則AP=4-2t，PF=AP=2-t，然后可得到S△APQ與t的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得t的值，于是可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，然后再證明∴△APT≌△APO即可．

把代入中，得．

把代入中，得．

，

把，分別代入中，得，，

拋物線的表達(dá)式為

，，由勾股定理，得，

．

運(yùn)動t秒后，，．

為等腰三角形，有，，三種情況，

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)D．

在中，，

，

．

解得；

當(dāng)時(shí)，

若點(diǎn)P在x軸上方的直線AB上，，，

，

解得；

若點(diǎn)P在x軸下方的直線AB上，

，

，

解得：；

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E．

則，在中，

，

．

解得：

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為、或或4．

過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長FP交拋物線與點(diǎn)T．

為底邊AQ上的高．

，，

．

．

當(dāng)時(shí)，的面積最大此時(shí)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，且．

連接OP，則，

點(diǎn)，

點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為，

將代入拋物線的解析式得：．

．

在中，由勾股定理可知：，

．

≌．

點(diǎn)T的坐標(biāo)為．