Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，FH．下列結論：
①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 ，則3S△EDH=13S△DHC ， 其中結論正確的有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG為等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正確；
②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；
③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；
④∵ ，
∴AE=2BE，
∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中， ，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD為等腰直角三角形，
過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：
設HM=x，則DM=5x，DH= x，CD=6x，
則S△DHC= ×HM×CD=3x2 ， S△EDH= ×DH2=13x2 ，
∴3S△EDH=13S△DHC ， 故④正確；
故選：D．

【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)．