Question

【題目】如圖，矩形ABCD的一邊BC與⊙O相切于G，DC=6，且對角線BD經過圓心O，AD交⊙O于點E，連接BE，BE恰好是⊙O的切線，已知點P在對角線BD上運動，若以B、P、G三點構成的三角形與△BED相似，則BP=______．

Answer 1

【答案】4或12．

【解析】連接OE、OG、DG，如圖，GO的延長線交AD于H，

∵BE和BG為⊙O的切線，

∴BG=BE，OB平分∠GBE，OG⊥BC，

而BC∥AD，

∴GH⊥AD，

∴EH=DH，

易得四邊形CDHG為矩形，

∴CG=DH，

∴DE=2CG，

∵∠EDB=∠CBD，

∴∠EBD=∠EDB，

∴EB=ED，

∴BE=BG=DE，

∴AE=CG，四邊形BGDE為菱形，

在Rt△ABE中，∵sin∠ABE=,

∴∠ABE=30°，

∴∠EBD=∠CBD=30°，

∴BC=6，BD=12，

∴BE=DE=BG=4，

當時，△PBG∽△EBD，即，解得PB=4；

當時，△PBG∽△DBE，即，解得PB=12，

綜上所述，BP的長為4或12．

故答案為4或12．