Question

【題目】已知，如圖1：拋物線 交軸于、兩點，交軸于點，對稱軸為直線，且過點.

（1）求出拋物線的解析式及點坐標，

（2）點， ，作直線交拋物線于另一點，點是直線下方拋物線上的點，連接、，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標；

（3）點、是拋物線對稱軸上的兩點，且已知（， ），（， ），當為何值時，四邊形周長最小？并求出四邊形周長的最小值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ， ；（3），周長最小值是，理由見解析

【解析】試題分析：（1）根據函數圖象過點和對稱軸方程列出方程組求解即可；

（2）求出點B的坐標，再求出直線BD的解析式，與拋物線聯立方程組即可求出點E坐標，根據三角形面積的計算公式得出表示三角形面積的二次函數，求出最大值即可；

（3）在四邊形ANME中，MN，AE是定值，四邊形周長最小，即AN+ME最小.利用軸對稱即可求解.

試題解析：（1）由題可得：

（2）當y=0時，

∴

∴A（3，0），B（-1，0）

∵D（0，1）

∴直線BD：y=x+1

∴解方程得：

∴E（5，6）

過點F作FG⊥x軸交直線BE于點G

設F（m， ），-1<m<5，G（m，m+1）

∴GF=

∴SΔDEF=

∵<0

∴i當m=2時，ΔDEF的面積有最大值，最大值是

∴F（2， ）

（3）∵A（3，0），E（5，6）

∴AE=

∵M（1，a+2），N（1，a）

∴MN=2

∴當ME+AN的值最小時，四邊形AEMN的周長最小，

∵點和點B關于直線x=1對稱，將點向下平移2個單位長度得到點，

連結BE交直線x=1于點N，再將點N向上平移2個單位長度得到點M，連結AN、ME、AE.