Question

【題目】【問題提出】

用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

【問題探究】

不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以先從特殊入手，通過試驗、觀察、類比、最后歸納、猜測得出結論．

【探究一】

（1）用3根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

此時，顯然能搭成一種等腰三角形．

所以，當n=3時，m=1．

（2）用4根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形．

所以，當n=4時，m=0．

（3）用5根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形．

若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形．

所以，當n=5時，m=1．

（4）用6根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形．

若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形．

所以，當n=6時，m=1．

綜上所述，可得：表①

【探究二】

（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并將結果填在表②中）

（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

（只需把結果填在表②中）

表②

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續進行探究，…

【問題解決】：

用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（設n分別等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整數，把結果填在表③中）

表③

【問題應用】：

用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（寫出解答過程），其中面積最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填結果）

Answer 1

【答案】【探究二】：2；1；2；2；【問題解決】：k；k﹣1；k；k；【問題應用】：672．

【解析】

試題分析：探究二：仿照探究一的方法進行分析即可；

問題解決：根據探究一、二的結果總結規律填表即可；

問題應用：根據規律進行計算求出m的值．

試題解析：（1）用7根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

此時，能搭成二種等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，則能搭成一種等腰三角形

分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形

當n=7時，m=2．

（2）用8根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，則不能搭成一種等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=8時，m=1．

用9根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，則能搭成一種等腰三角形

分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形

所以，當n=9時，m=2．

用10根相同的木棒搭一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，則能搭成一種等腰三角形

分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形

所以，當n=10時，m=2．

故答案為：2；1；2；2．

問題解決：由規律可知，答案為：k；k﹣1；k；k．

問題應用：2016÷4=504，504﹣1=503，當三角形是等邊三角形時，面積最大，2016÷3=672，∴用2016根相同的木棒搭一個三角形，能搭成503種不同的等腰三角形，其中面積最大的等腰三角形每腰用672根木棒．