Question

【題目】下表中給出了變量x與ax2，ax2+bx+c之間的部分對(duì)應(yīng)值(表格中的符號(hào)“…”表示該項(xiàng)數(shù)據(jù)已經(jīng)丟失)

x	-1	0	1
ax	…	…	1
ax+ bx + c	7	2	…

（1）寫(xiě)出這條拋物線的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；并說(shuō)明它的變化情況；

（2）拋物線的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，直線AM交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B，當(dāng)△ADM與△BDM的面積比為2：3時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)：

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段BD交x軸于點(diǎn)C，試寫(xiě)出∠BAD與∠DCO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），開(kāi)口向上，,變化情況見(jiàn)解析；（2）；（3），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)（1，1）在拋物線y=ax2上可求出a值，再由（-1，7）、（0，2）在拋物線y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）根據(jù)△ADM和△BDM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出A、D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作AN∥x軸，交BD于點(diǎn)N，則∠AND=∠DCO，根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出BA、BD、BN的長(zhǎng)度，由三者間的關(guān)系結(jié)合∠ABD=∠NBA，可證出△ABD∽△NBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．

解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2=1，
解得：a=1；
將（-1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：

，

解得： ，

∴拋物線的表達(dá)式為或，
∴該拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)D（2，-2），

變化情況：在對(duì)稱軸 的左邊y隨x的增大而減小，再對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大；

（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：3，
∴點(diǎn)A到拋物線的距離與點(diǎn)B到拋物線的距離比為2：3．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)B到拋物線對(duì)稱軸的距離為3，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+2=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，7）．

（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：
當(dāng)x=0時(shí)，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∵，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-2）．
過(guò)點(diǎn)A作AN∥x軸，交BD于點(diǎn)N，則∠AND=∠DCO，如圖所示．

設(shè)直線BD的表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），
將B（5，7）、D（2，-2）代入y=mx+n，

得到： ，

解得： ，

∴直線BD的表達(dá)式為y=3x-8．
當(dāng)y=2時(shí)，有3x-8=2，

解得： ，

∵A（0，2），B（5，7），D（2，-2），

∴ ，

∴ ，

又∵∠ABD=∠NBA，
∴△ABD∽△NBA，
∴∠ANB=∠DAB．
∵∠ANB+∠AND=180°，
∴∠DAB+∠DCO=180°．