Question

【題目】

情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．

觀察圖2可知：與BC相等的線段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．

問題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論.

拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB=k AE，AC=k AF，試探究HE與HF之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】情境觀察：AD（或A′D），90

問題探究：EP=FQ. 證明見解析

結論： HE=HF. 證明見解析

【解析】

情境觀察

AD（或A′D），90

問題探究

結論：EP=FQ.

證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.

∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ. ∴EP=FQ

拓展延伸

結論： HE=HF.

理由：過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q.

∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP.

∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，

同理△ACG∽△FAQ，

∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.

∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF