Question

如圖，拋物線與x軸交于A(，0)、B(3，0)兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）點P是拋物線上第三象限內的一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABCP的面積最大？求出此時點P的坐標和四邊形ABCP的面積；
（3）點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） （2）四邊形ABCP的面積的最大值為，點P坐標為 （3）存在；M₁(，) M₂(，) M₃(，) M₄ (，) M₅(，)

試題分析：⑴拋物線與x軸交于A(，0)、B(3，0)兩點，則；解得，所以拋物線的解析式是
⑵過P點做PD垂直于X軸；四邊形ABCP的面積=三角形OBC的面積+三角形APD的面積+梯形OCPD的面積；拋物線與y軸的交點是C，C的坐標（0,y）解得y=-4,則OC=4，而OC是三角形ABC的高；拋物線與x軸交于A(，0)、B(3，0)兩點，OC=3，則；設P點的坐標為（x,y）; 點P是拋物線上第三象限內的一動點，PD="-y,OD=-x;" 則==
當x+2=0即x=-2時四邊形ABCP的面積的最大值為=+6=
點P坐標為
⑶點M在拋物線對稱軸上，拋物線的函數關系式，其對稱軸X=；在直角三角形OBC中BC=5；點N是平面內一點，使得以點M、N、B、C為頂點的四邊形是菱形，根據菱形的性質四邊相等解得
M₁(，) M₂(，) M₃(，) M₄ (，)
M₅(，)
點評：考查二次函數的知識，本題要求學生掌握用待定系數法求二次函數的解析式，本題難度較大，但（1）小問比較簡單，要求學生會做，后面兩小問，難度較大，要求中等成績以上的學生要會做