Question

【題目】如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上的任意一點，∠ADF=60°，且DF交∠ACE的角平分線于點F.

（1）求證：AC=CD＋CF；

（2）如圖2，當點D在BC的延長上時，猜想AC、CD、CF的數量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AC=CF-CD，證明詳見解析.

【解析】

（1）過點D作DM∥AC，且交AB于點M，證明△BDM是等邊三角形，得到BD=BM=DM；再證明△AMD≌△DCF，根據全等三角形的性質得到DM=CF即可得到結論；

（2）作DG∥AC交DF于G，證明△ACD≌△FGD，根據全等三角形的性質得到AC=FG=BC，從而可證得AC=CF-CD．

（1）證明：過點D作DM∥AC，且交AB于點M，

∴∠BDM=∠BCA=60°，∠BED=∠BAC=60°，

∴∠BDE=∠BMD=60°，

∴△BDM是等邊三角形，

∴BD=BM=DM；

∵BA=BC，BD=BM，

∴MA=DC，

∵∠BMD=60°，

∴∠AMD=120°，

∵CF是∠ACE的平分線，

∴∠ACF=60°，

∴∠DCF=120°，

∴∠AMD=∠DCF，

∵∠ADF=60°，∠BDM=60°，

∴∠ADM+∠FDC=60°，

∵∠ADM+∠DAM=∠BMD=60°，

∴∠DAM=∠FDC，

在△AMD和△DCF中，

，

∴△AMD≌△DCF，

∴DM=CF，

∴BC=CD+BD=CD+DM=CD+CF,

∴AC=CD＋CF；

（2）AC=CF-CD

作DG∥AC交DF于G，

則∠CGD=∠ACF=60°，∠CDG=∠ACB=60°，

∴△CDG為等邊三角形，∠ACD=∠FGD=120°，

∴CG=CD=DG，

∵∠BDA+∠ADG=60°，∠FDG+∠ADG=60°，

∴∠BDA=∠FDG，

在△ACD和△FGD中，

，

∴△ACD≌△FGD，

∴AC=FG，

∴AC=CF-CG=CF-CD．