Question

【題目】(1)如圖1,△ABC和△CDE均為等邊三角形，直線AD和直線BE交于點F.

①求證： AD=BE:

②求∠AFB的度數．

(2)如圖2, △ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC= ∠DEC=90°,直線AD和直線BE交于點F.

①求證： AD= BE:;

②若AB=BC=3, DE=EC= 2,將△CDE繞著點C在平面內旋轉，當點D落在線段BC上時，在圖3中畫出圖形，并求BF的長度.

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②∠AFB＝60°；(2)①見解析；②BF＝．

【解析】

（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），即可解決問題.

（2）①根據∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，可知∠ACB＝∠DCE＝45°，∠ACD＝∠BCE，可證△ACD∽△BCE，可知，

②當點D落在線段BC上時，證明△ACD∽△BCE．再證明△BDF∽△BEC，可得，

即可計算出.

(1)①∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．

∴∠ACD＝∠BCE．

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBF．

②如圖(1)設BC交AF于點G．

∵∠AGC＝∠BGF，∠CAD＝∠CBF，

∴∠BFG＝∠ACG＝60°．

即∠AFB＝60°．

(2)①∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，

∴∠ACB＝∠DCE＝45°， ．

∴∠ACD＝∠BCE．

∵

∴△ACD∽△BCE．

∴ ．

∴ ．

②當點D落在線段BC上時，

如圖所示

則，．

過點E作EH⊥BC于點H，

則，．

∴．

∵∠ACD＝∠BCE＝45°， ．

∴△ACD∽△BCE．

∴∠CAD＝∠CBE．

又∵∠ADC＝∠BDF，

∴∠BFD＝∠ACD＝45°．

∴∠BFD＝∠BCE＝45°．

又∵∠DBF＝∠EBC，

∴△BDF∽△BEC．

∴ ．

∴ ．

∴．