Question

【題目】已知：二次函數y=ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側，與y軸交于點C，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根．

（1）請直接寫出點A、點B的坐標．
（2）請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點坐標．
（3）如圖，在二次函數對稱軸上是否存在點P，使△APC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，那個說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣4x﹣12=0得x1=﹣2，x2=6，

即A（﹣2，0），B（6，0）

（2）

解：將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，

得到 ，

解得 ，

即y=﹣ x2+2x+6，

由于y=﹣ x2+2x+6= （x﹣2）2+8，

即拋物線的對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，8）

（3）

解：如圖，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

設直線AC′解析式為y=kx+n，

則 ，

解得 ，

∴y=x+2，

當x=2時，y=4，

即P（2，4）．

【解析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0，求出點A和點B的橫坐標，進而得到答案；（2）將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可，進而求出頂點坐標；（3）作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C′，連接AC′，交拋物線對稱軸于P點，連接CP，求出C′坐標，求出直線AC′解析式，進而求出點P的坐標．
【考點精析】掌握二次函數的概念和二次函數的圖象是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．