Question

【題目】如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點O．

（1）在圖1中，求證：△ABE≌△ADC．
（2）由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC=120°，請你探索在圖2中，∠BOC的度數，并說明理由或寫出證明過程．
（3）填空：在上述（1）（2）的基礎上可得在圖3中∠BOC=（填寫度數）．
（4）由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點O，猜想得∠BOC的度數為（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE，

∴△ABE≌△ADC

（2）

證明：如圖2，∠BOC=90°，理由是：

∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，

∴∠BAE=∠DAC，

∴△ADC≌△ABE，

∴∠BEA=∠DCA，

∵∠EAC=90°，

∴∠AMC+∠DCA=90°，

∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA，

∴∠BOC=90°

（3）72°
（4）
【解析】證明：（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEM=∠DCA，
∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC，
∵正五邊形ACIGE，
∴∠EAC=180°﹣ =108°，
∴∠DCA+∠AMC=72°，
∴∠BOC=72°；
故答案為：72°；
4）如圖4，∠BOC的度數為 ，理由是：
同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEA=∠DCA，
∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC，
∵正n邊形AC…E，
∴∠EAC=180°﹣ ，
∴∠DCA+∠AMC=180°﹣（180﹣ ）°，
∴∠BOC= ．


（1）根據等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質得∠DAC=∠BAE，根據SAS得出△ABE≌△ADC；（2）根據正方形性質證明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的內角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°；（3）根據正五邊形的性質證明：△ADC≌△ABE，再計算五邊形每一個內角的度數為108°，由三角形外角定理求出∠BOC=72°；（4）根據正n邊形的性質證明：△ADC≌△ABE，再計算n邊形每一個內角的度數為180°﹣ ，由三角形外角定理求出∠BOC= ．本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形、正四邊形等圖形的性質，關鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩三角形全等，運用了類比的方法，同時還要熟練掌握正n邊形每一個內角的求法：可以利用外角和求，也可以利用內角和求；根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和列式并綜合對頂角相等分別得出結論．