Question

【題目】根據要求回答問題：
（1）發現
如圖1，直線l1∥l2 ， l1和l2的距離為d，點P在l1上，點Q在l2上，連接PQ，填空：PQ長度的最小值為.

（2）應用
如圖2，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，點M在線段AD上，AM=3MD，點N在直線BC上，連接MN，求MN長度的最小值

（3）拓展
如圖3，在四邊形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC=2，AD=4，AB=6，點M在線段AD上任意一點，連接MC并延長到點E，使MC=CE，以MB和ME為邊作平行四邊形MBNE，請直接寫出線段MN長度的最小值

Answer 1

【答案】
（1）d
（2）解：如圖2，

∵AD=4，AM=3DM，

∴AM=3，DM=1，

延長AD、BC交于E，

當MN⊥BC時，MN的值最小，

∵DC∥AB，

∴△EDC∽△EAB，

∴ ，

∴ ，

∴ED=2，

∴ED=DC=2，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴∠E=45°，

∴△EMN是等腰直角三角形，

∵EM=3，

∴MN= =

（3）解：當MN⊥AD時，MN的長最小，

∴MN∥DC∥AB，

∴∠DCM=∠CMN=∠MNB=∠NBH，

設MN與BC相交于點G，

∵ME∥BN，MC=CE，

∴ ，

∴G是BC上一定點，

作NH⊥AB，交AB的延長線于H，

∵∠D=∠H=90°，

∴Rt△MDC∽Rt△NHB，

即 = ，

∴BH=2DC=4，

∴AH=AB+BH=6+4=10，

∴當MN⊥AD時，MN的長最小，即為10；

則線段MN長度的最小值為10

【解析】解：（1）∵直線l1∥l2，l1和l2的距離為d，

∴PQ長度的最小值為d；

所以答案是：d；

【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．