Question

【題目】如圖，中，，，，若點從點出發，以每秒的速度沿折線運動，設運動時間為秒．

（1）若點恰好在的角平分線上，求的值；

（2）若為等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】（1）或6；（2）或5或或.

【解析】

（1）當點P在∠CAB的平分線上時，如圖1，過點P作PE⊥AB于點E，此時BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，根據勾股定理列方程即可得到結論；
（2）在Rt△ABC中，根據勾股定理得到AC=4cm，根據題意得：AP=2t，當P在AC上時，△BCP為等腰三角形，得到PC=BC，即4-2t=3，求得t=，當P在AB上時，△BCP為等腰三角形，若CP=PB，點P在BC的垂直平分線上，如圖2，過P作PE⊥BC于E，求得t=，若PB=BC，即2t-3-4=3，解得t=5，③PC=BC，如圖3，過C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2=BFAB，列方程32=，即可得到結論．

解：（1）當點在的平分線上時，如圖1，過點作于點，

此時，，，

在中，，

即：，

解得：，

當時，點與重合，也符合條件，

當或6時，在的角平分線上；

（2）在中，，，

，

根據題意得：，

當在上時，為等腰三角形，

，即，

，

當在上時，為等腰三角形，

①，點在的垂直平分線上，

如圖2，過作于，

，

，即，解得：，

②，即，

解得：，

③，如圖3，過作于，

，

，

由射影定理得：，

即，

解得：，

綜上：若為等腰三角形，t的值為或或或.