Question

【題目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向

以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）．過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點，線段MN運動的時間為ts．

（1）若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數關系式（寫出自變量t的取值范圍）；

（2）線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時t的值；若不可能，說明理由；

（3）t為何值時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）y與t的函數關系式為

（2）當時，四邊形MNQP為矩形 ；

（3）當或時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.

【解析】試題分析：（1）分兩種情況，點P可以在AC上時和當點P在BC上時，利用三角函數分別用含t的代數式表示出PM，AM，再用S△APM=AMPM得出y與t的函數關系式，（2）當PM=QN時，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值，（3）以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質，求得相對應的t的值．

試題解析：（1）當點P在AC上時，

∵AM=t ，

當點P在BC上時，

（2）∵AC=2，∴AB=4，∴BN=AB-AM-MN=4-t=3-t

由條件可知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，

，

∴△PQC∽△ABC，

除此之外，當∠CPQ=∠B=30°時，△QPC∽△△ABC，

，

∴AP=2AM=2t，

∴CP=2-2t，

，

，