Question

已知拋物線拋物線（n為正整數，且0<a₁<a₂<…<a_n）與x軸的交點為A_n-1（b_n-1,0）和A_n(b_n，0)，當n=1時，第1條拋物線與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此類推．
（1）求a₁,b₁的值及拋物線y₂的解析式；
（2）拋物線y₃的頂點坐標為（       ，       ）；
依此類推第n條拋物線y_n的頂點坐標為（       ，       ）;
所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系是       ；
（3）探究下列結論：
①若用A_n-1A_n表示第n條拋物線被x軸截得得線段長，直接寫出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；
②是否存在經過點A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得得線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵與x軸交于點A₀（0，0），∴―a₁²+ a₁=0，∴a₁=0或1。
由已知可知a₁>0，∴a₁=1。
∴。
令y₁=0代入得：=0，∴x₁=0，x₂=2。
∴y₁與x軸交于A₀（0，0），A₁（2，0）。∴b₁=2。
又∵拋物線與x軸交于點A₁（2，0），
∴―(2―a₂)²+ a₂=0，∴a₂=1或4，∵a₂> a₁，∴a₂=1（舍去）。
∴取a₂=4，拋物線。
（2）（9，9）；（n²，n²）；y=x。
（3）①∵A₀（0，0），A₁（2，0），∴A₀ A₁=2。
又∵，
令y_n=0，得，解得：x₁=n²+n，x₂=n²－n。
∴A _n－1(n²－n，0)，A _n(n²+n，0)，即A _n－1 A _n="(" n²+n)－( n²－n)="2" n。
②存在。是平行于直線y=x且過A₁（2，0）的直線，其表達式為y=x－2。

試題分析：（1）將A₀坐標代入y₁的解析式可求得a₁的值；a₁的值知道了y₁的解析式也就確定了，已知拋物線就可求出b₁的值，又把（b₁，0）代入y₂，可求出a₂，即得y₂的解析式。
（2）用同樣的方法可求得a₃、a₄、a₅ ……由此得到規律：
∵拋物線令y₂=0代入得：，∴x₁=2，x₂=6。
∴y₂與x軸交于點A₁（2，0），A₂（6，0）。
又∵拋物線與x軸交于A₂（6，0），∴―(6―a₃)²+a₃=0。∴a₃=4或9。
∵a₃> a₃，∴a₃=4（舍去），即a₃=9。∴拋物線y₃的頂點坐標為（9，9）。

由拋物線y₁的頂點坐標為（1，1），y₂的頂點坐標為（4，4），y₃的頂點坐標為（9，9），依次類推拋物線y_n的頂點坐標為（n²，n²）。
∵所有拋物線的頂點的橫坐標等于縱坐標，
∴頂點坐標滿足的函數關系式是：y= x。
（3）①由（2）可知A₀A₁=2，A₁A₂=4，A₂A₃=6，得A _n－1 A _n="2" n。
②猜測這是與直線y=x平行且過A（2，0）的一條直線，即y=x－2。
可用特殊值法驗證：取得和，得所截得的線段長度為，換一組拋物線試試，求出的值也為。