Question

已知函數（是常數）
（1）若該函數的圖像與軸只有一個交點，求的值；
（2）若點在某反比例函數的圖像上，要使該反比例函數和二次函數都是隨的增大而增大，求應滿足的條件以及的取值范圍；
（3）設拋物線與軸交于兩點，且，，在軸上，是否存在點P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出點P及△ABP的面積；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）①當時，函數為為一次函數，它的圖像與x軸只有一個交點。
②當時，若函數的圖像與x軸只有一個交點，則方程有兩個相等的實數根，所以，解得。
綜上所述，若函數的圖像與x軸只有一個交點，則的值為0或。
（2）設反比例函數為，
∵點在反比例函數的圖像上，∴，即.。
∴反比例函數為。
∵要使該反比例函數y隨著x的增大而增大，則。
∵二次函數的對稱軸為，
∴要使二次函數的y隨著x的增大而增大，在的情況下，x必須在對稱軸的左邊，即。
綜上所述，要使該反比例函數和二次函數都y隨著x的增大而增大，必須且。
（3）存在。
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴一元二次方程方程的判別式，解得。
又∵，∴，解得或。
又∵，∴。
∴二次函數為。
設P（0，p）是滿足條件的點，則，即。
∴。∴。∴。
∴。∴。
∴。
∴在y軸上，存在點P（0，）或（0，）,使△ABP是直角三角形，△ABP的面積為。

（1）分和兩種情況討論即可。
（2）根據二次函數和反比例函數的性質求解。
（3）若△ABP是直角三角形，則一定是∠APB=90⁰，從而由已知，，根據一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，求出k的值，進而根據勾股定理即可求得點P的坐標，求得△ABP的面積。