Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形AOBC的兩邊與坐標軸重合，且OB=4，AO=3，若AD=3DC，以D為頂點的拋物線過原點．點M、N為動點，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在圖1中，若點M在線段OB上從點O向點B以1個單位/秒的速度運動，同時，點N在線段BA上從點B向點A以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△BMN為直角三角形？

（3）在圖2中，過點M做y軸的平行線，分別交拋物線和線段OD于P、G兩點，當t為何值時，△ODP的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）當t=或t=時，△BMN為直角三角形；（3）當t=時，△OPD的面積最大，最大值為

【解析】分析：（1）求出點D的坐標，再利用頂點坐標式求出拋物線的解析式；

（2）分∠NMB=90°時，△AOB∽△NMB和當∠MNB=90°時，得到△AOB∽△MNB兩種情況進行討論，求出t的值即可；

（3）首先求出直線OD的解析式，再用t表示出PG的長，用t表示出△OPD的面積，進而求出最大值．

詳解：（1）由題意，知AC=4，AD=3CD，得D點坐標為（3，3），根據頂點式設拋物線的解析式為y=a（x﹣3）2+3，

將點O坐標代入即可求出a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x；

（2）依題意得，OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵OM=t，故得BM=（4﹣t），BN=2t，

①當∠NMB=90°時，得到△AOB∽△NMB，

得到=，得=，解得t=；

②當∠MNB=90°時，得到△AOB∽△MNB，

得=，得=，解得t=，

∴當t=或t=時，△BMN為直角三角形；

（3）∵O（0，0），D（3，3），

∴設直線OD的解析式為y=kx，則3k=3，k=1，

故直線OD的解析式為y=x，

∵OM=t，故xM=xG=xF=t，

∴yP=﹣t2+2t，yG=t，

∴PG=﹣t2+t，

∴S△OPD=ADFG=﹣t2+t，

∴S△OPD=（t﹣）2+（0＜t＜），

∴當t=時，△OPD的面積最大，最大值為．