Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標系中，點A(0,4)，C(2,0).

（1）三角形的面積= ；

（2）已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發，P點從C點出發沿軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點從O點出發以2個單位長度每秒的速度沿軸正方向移動，點Q到達A點整個運動隨之結束，AC的中點D的坐標是(1,2)，設運動時間為秒，問:是否存在這樣的,使若存在,請求出的值；若不存在,請說明理由；

（3）如圖2，點F是線段AC上一點，滿足∠FOC=∠FCO,點G是第二象限中一點，連OG，使得∠AOG=∠AOF，點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H，當點E在線段OA上運動的過程中,以下兩個式子:哪個式子為定值,請求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）t＝時，使得；（3），理由見解析

【解析】

（1）三角形的面積公式即可求解；

（2）先表示出OQ，OP，利用，建立方程求解即可得出結論；

（3）先判斷出∠OAC＝∠AOD，進而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC＝∠ACE，同理∠FHO＝∠GOD，即可得出結論．

（1）∵A(0,4)，C(2,0)

∴AO=4,CO=2

∴三角形的面積=AO×CO=×4×2=4，

故答案為4；

（2）∵A(0,4)，C(2,0)

由運動知，OQ＝2t，PC＝t，

∴OP＝2t，

∵D（1，2），

∴S△ODQ＝OQ×|xD|＝×2t×1＝t，

S△ODP＝OP×|yD|＝（2t）×2＝2t，

∵，

∴t＝2（2t），

∴t＝，

∴存在t＝時，使得；

（3），理由如下：

∵x軸⊥y軸，

∴∠AOC＝∠DOC＋∠AOD＝90°

∴∠OAC＋∠ACO＝90°

又∵∠DOC＝∠DCO

∴∠OAC＝∠AOD

∵x軸平分∠GOD

∴∠GOA＝∠AOD

∴∠GOA＝∠OAC

∴OG∥AC，

如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，

∴HF∥AC

∴∠FHC＝∠ACE

同理∠FHO＝∠GOD，

∵OG∥FH，

∴∠GOD＝∠FHO，

∴∠GOD＋∠ACE＝∠FHO＋∠FHC

即∠GOD＋∠ACE＝∠OHC，

∴2∠GOA＋∠ACE＝∠OHC．

即