Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（-3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H，連接BM．

（1）求直線AC的解析式；

（2）動點P從點A出發，沿折線ABC的方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）動點P從點A出發，沿線段AB方向以2個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當∠MPB與∠BCO互為余角時，試確定t的值．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的解析式為y=-x+．（2）S=-t+（0≤t＜）．S=t-（＜t≤5）；（3）t=．

【解析】

試題分析：（1）過點A作AE⊥x軸，垂足為E，根據勾股定理求出OA的長，根據菱形的性質可得出C點坐標，再利用待定系數法求出直線AC的解析式即可；

（2）先求出OM的長，再分點P在AB邊上運動與點P在BC邊上運動兩種情況進行分類討論；

（3）先根據菱形的性質及三角形內角和定理得出∠MPB=∠ABM，再根據等腰三角形的性質即可得出結論．

試題解析：（1）如圖1，過點A作AE⊥x軸，垂足為E．

∵A（-3，4），

∴AE=4，OE=3，

∴OA==5．

∵四邊形ABCO是菱形，

∴OC=CB=BA=OA=5，

∴C（5，0）．設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-3，4），C（5，0）代入得：，

解得，

∴直線AC的解析式為y=-x+．

（2）由（1）得點M的坐標為（0，），

∴OM=．

如圖1，當點P在AB邊上運動時．

由題意得OH=4，

∴HM=．

∴S=BPMH=（5-2t）×

∴S=-t+（0≤t＜）．

如圖2，當點P在BC邊上運動時．

∵∠OCM=∠BCM，OC=BC，MC=MC．

∴△MOC≌△MBC．

∴BM=OM=，∠MBC=∠MOC=90°．

∴S=BPBM=（2t-5）×

∴S=t-（＜t≤5）；

（3）∵∠AOC=∠ABC，∠MOC=∠MBC，

∴∠AOM=∠ABM．

∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOM=90°．

∴∠MPB=∠AOM，

∴∠MPB=∠ABM．

如圖3，當點P在AB邊上運動時．

∵∠MPB=∠ABM，

∴PM=BM．

∵MH⊥PB，

∴PH=HB=5-3=2，

∴PA=3-2=1．

∴t=．