Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l所在的直線的解析式為y=x，點B坐標為（10，0）過B做BC⊥直線l，垂足為C，點P從原點出發沿x軸方向向點B運動，速度為1單位/s，同時點Q從點B出發沿B→C→原點方向運動，速度為2個單位/s，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．

（1）OC= ，BC= ；

（2）當t=5（s）時，試在直線PQ上確定一點M，使△BCM的周長最小，并求出該最小值；

（3）設點P的運動時間為t（s），△PBQ的面積為y，當△PBQ存在時，求y與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8，6；（2）16；（3）y=．

【解析】

試題分析：（1）根據勾股定理，可得答案；

（2）根據線段垂直平分線的性質，可得直線PQ上的點到O、C的距離相等，根據兩點之間線段最短，可得M點與P點重合，根據三角形的周長，可得答案；

（3）根據速度與時間的關系，可得OP，BQ，根據正切函數，可得QH，根據三角形的面積公式，可得答案．

解：（1）∵直線l所在的直線的解析式為y=x，BC⊥直線l，

∴=．

又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，

∴（3x）2+（4x）2=102，

解得x=2，x=﹣2（舍），

OC=4x=8，BC=3x=6，

故答案為：8，6；

（2）如圖1：

，

PQ是OC的垂直平分線，OB交PQ于P即M點與P點重合，

M與P點重合時△BCM的周長最小，

周長最小為=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；

（3）①當0＜t≤3時，過Q作QH⊥OB垂足為H，如圖2：

，

PB=10﹣t，BQ=2t，HQ=2tsinB=2tcos∠COB=2t×=t，

y=PBQH=（10﹣t）t=﹣t2+8t；

②當3＜t＜5時，過Q作QH⊥OB垂足為H，如圖3：

，

PB=10﹣t，OQ=OC+BC﹣2t=14﹣2t，

QH=OQsin∠QOH=（14﹣2t）=（14﹣2t）=﹣t，

y=PBQH=（10﹣t）（﹣t）=t2﹣t+42，

綜上所述y=．