Question

【題目】課堂上，數學老師提出了如下問題：

如圖1，若線段AD為△ABC的角平分線，請問一定成立嗎？

小明和小芳分別作了如下探究：

小明發現：如圖2，當△ABC為直角三角形時，且∠C=90°，∠CAB=60°時，結論成立；

小芳發現：如圖3，當△ABC為任意三角形時，過點C作AB的平行線，交AD的延長線于點E，利用此圖可以證明成立．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）設CD的長為a，Rt△CAB中，由角平分線的定義，可得∠B= 30°，由正切定義可得AC、AB、CB以及DB的長，即可得證；

（2）由兩直線平行，內錯角相等可得∠E=∠EAB，∠B=∠ECB，即可證明△CED∽△BAD，由相似三角形的性質得出，由等角對等邊得出CE=CA，即可得證.

試題解析：（1）設CD的長為a，

Rt△CAB中，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠B=∠CAD=∠DAB= 30°，

∴DB=BC-CD=3a-a=2a

∴

（2）∵CE∥AB，

∴∠E=∠EAB，∠B=∠ECB，

∴△CED∽△BAD，

∴，

∵∠E=∠EAB，∠EAB=∠CAD，

∴∠E=∠CAD

∴CE=CA

∴，