Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F，作BH⊥AF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF．

（1）求證：△OAE≌△OBG；
（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由；
（3）試求： 的值（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．

∵BH⊥AF，

∴∠AHG=90°，

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，

∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．

∴在△OAE與△OBG中， ，

∴△OAE≌△OBG（ASA）

（2）

四邊形BFGE是菱形，理由如下：

∵在△AHG與△AHB中，

∴△AHG≌△AHB（ASA），

∴GH=BH，

∴AF是線段BG的垂直平分線，

∴EG=EB，FG=FB．

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°

∴∠BEF=∠BFE

∴EB=FB，

∴EG=EB=FB=FG，

∴四邊形BFGE是菱形

（3）

設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b．

∵四邊形BFGE是菱形，

∴GF∥OB，

∴∠CGF=∠COB=90°，

∴∠GFC=∠GCF=45°，

∴CG=GF=b，

（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）

∴OG=OE=a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）2=b2，求得 a= b

∴AC=2a=（2+ ）b，AG=AC﹣CG=（1+ ）b

∵PC∥AB，

∴△CGP∽△AGB，

∴ = = = ﹣1，

由（1）△OAE≌△OBG得 AE=GB，

∴ = = ﹣1，即 = ﹣1．

【解析】（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得：△OAE≌△OBG；（2）四邊形BFGE是菱形．欲證明四邊形BFGE是菱形，只需證得EG=EB=FB=FG，即四條邊都相等的四邊形是菱形；（3）設OA=OB=OC=a ， 菱形GEBF的邊長為b．由該菱形的性質CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得a= b，通過相似三角形△CGP∽△AGB的對應邊成比例得到： = = ﹣1；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故 = = ﹣1．