Question

【題目】如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣4）的拋物線y= x2+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0），C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y= x2+bx+c向上平移 個(gè)單位長度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入拋物線y= x2+bx+c中，得：

，

解得：

故拋物線的解析式：y= x2﹣x﹣4

（2）

解：由題意，新拋物線的解析式可表示為：y= （x+m）2﹣（x+m）﹣4+ ，即：y= x2+（m﹣1）x+ m2﹣m﹣ ；

它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P：（1﹣m，﹣1）；

由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）；

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，

∴4k+b=0，b=﹣4，

∴y=x﹣4．

同理直線AB：y=﹣2x﹣4；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m= ；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；

∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，﹣2＜m＜ ；

又∵m＞0，

∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜

（3）

解：由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA；

如圖，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=ANAM1；

易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；

∴AM1=20÷2=10；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．

綜上，AM的長為10或2．

【解析】（1）該拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍．（3）先在OA上取點(diǎn)N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負(fù)半軸上都有一個(gè)符合條件的M點(diǎn)；以y軸正半軸上的點(diǎn)M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過相關(guān)比例線段求出AM的長．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．