Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y1=kx+b圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù) 的圖象相交于B（﹣1，5）、C（ ，d）兩點(diǎn)．點(diǎn)P（m，n）是一次函數(shù)y1=kx+b的圖象上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求k、b的值；
（2）設(shè)﹣1＜m＜ ，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線與函數(shù) 的圖象相交于點(diǎn)D．試問(wèn)△PAD的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)m=1﹣a，如果在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y2= ，得c=﹣5，

則y2=﹣ ，

把x= 代入得y=﹣2，

則C（ ，﹣2）

將B、C代入直線y1=kx+b得：

（2）

解：存在．

令y1=0，x= ，則A的坐標(biāo)是：（ ，0）；

由題意，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不含A，B），

設(shè)點(diǎn)P（ ，n），

∵DP平行于x軸，

∴D、P的縱坐標(biāo)都是n，

∴D的坐標(biāo)是：（﹣ ，n），

∴S= nPD= （ + ）×n=﹣ （n﹣ ）2+ ；

而﹣2m+3=n，得0＜n＜5；

所以由S關(guān)于n的函數(shù)解析式，所對(duì)應(yīng)的拋物線開口方向決定，當(dāng)n= ，即P（ ， ），S的最大值是：

（3）

解：由已知P（1﹣a，2a+1），易知，m≠n，1﹣a≠2a+1，a≠0；

若a＞0，m＜1＜n，由題設(shè)m≥0，n≤2，

則 ，

解不等式組的解集是：0＜a≤ ；

若a＜0，n＜1＜m，由題設(shè)n≥0，m≤2，

則 ，

解得：﹣ ≤a＜0；

綜上：a的取值范圍是：﹣ ≤a＜0，0＜a≤

【解析】（1）B、C兩點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積相等，可求d的值，將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y1=kx+b中，列方程組可求k、b的值；（2）存在，根據(jù)直線解析式可求A點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P（ ，n），PD∥x軸，則D、P的縱坐標(biāo)都是n，此時(shí)，D（﹣ ，n），則PD= + ，由S= nPD，可求△PAD的面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（3）點(diǎn)P（m，n）在一次函數(shù)圖象上，由一次函數(shù)解析式可知，設(shè)m=1﹣a，則P（1﹣a，2a+1），依題意m≠n，可知a≠0，根據(jù)a＞0和a＜0兩種情況，分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，需要了解一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見,k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)才能得出正確答案．