Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線（）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B。

（1）求點A，B的坐標；
（2）設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的解析式；
（3）若該拋物線在這一段位于直線l的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式。

Answer 1

（1）（2）（3）

解：（1）∵當時，。∴A。
∵拋物線對稱軸為，B。
（2）易得A點關于拋物線對稱軸的對稱點為，則直線l經過、B，
設直線l的解析式為，
則，解得。
∴直線l的解析式為。
（3）∵拋物線對稱軸為。
∴拋物線在這一段與在這一段關于對稱軸對稱。
結合圖象可以觀察到拋物線在這一段位于直線l的上方在這一段位于直線l的下方，
∴拋物線與直線l的交點橫坐標為－1，代入直線l的解析式得。
∴拋物線過點（－1，4），代入拋物線的解析式得，解得。
∴拋物線解析為。
（1）令即可求得A點坐標，根據公式求出拋物線對稱軸即可求得B點坐標。
（2）根據對稱的性質求出A點關于拋物線對稱軸對稱的點的坐標，從而應用待定系數法即可求出直線l的解析式。
（3）由直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，和拋物線在這一段位于直線l的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，得出拋物線在這一段位于直線l的上方在這一段位于直線l的下方，從而得出拋物線與直線l的交點橫坐標為－1，進而先代入直線l的解析式求出交點縱坐標，再代入拋物線的解析式求出m，即可得到拋物線的解析式。