Question

如圖，⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線y=ax²+bx經過點A(4，0)與點（-2，6）．

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點A交y軸于點D，動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值；
（3）點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當△ROB面積最大時，求點R的坐標.

Answer 1

（1）y=x²－2x；（2）1.8；（3）（，）

試題分析：（1）由拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6）即可根據待定系數法求解；
（2）過點O作OF⊥AD，連接AC交OB于點E，由垂徑定理得AC⊥OB．根據切線的性質可得AC⊥AD，即可證得四邊形OFAE是矩形，由tan∠AOB=可得sin∠AOB=，即可求得AE、OD的長，當PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t．則在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，再根據勾股定理求解；
（3）設直線l平行于OB，且與拋物線有唯一交點R（相切），此時△ROB中OB邊上的高最大，所以此時△ROB面積最大，由tan∠AOB=可得直線OB的解析式為y=x，由直線l平行于OB，可設直線l解析式為y=x+b．點R既在直線l上，又在拋物線上，可得x²－2x=x+b，再根據直線l與拋物線有唯一交點R（相切），可得方程2x²-11x-4b=0有兩個相等的實數根，即可得到判別式△=0，從而可以求得結果．
（1）∵拋物線y=ax²+bx經過點A（4，0）與點（-2，6），
∴ ，解得a=，b=－2
∴拋物線的解析式為：y=x²－2x；
（2）過點O作OF⊥AD，連接AC交OB于點E，由垂徑定理得AC⊥OB．

∵AD為切線，
∴AC⊥AD， 
∴AD∥OB．
∴四邊形OFAE是矩形，
∵tan∠AOB=   
∴sin∠AOB=，
∴AE=OA·sin∠AOB=4×=2.4，
OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4×=3．
當PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t．
則在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=，
∴t=1.8秒；
（3）設直線l平行于OB，且與拋物線有唯一交點R（相切），
此時△ROB中OB邊上的高最大，所以此時△ROB面積最大．  
∵tan∠AOB=    
∴直線OB的解析式為y=x，
由直線l平行于OB，可設直線l解析式為y=x+b．
∵點R既在直線l上，又在拋物線上，
∴x²－2x=x+b，化簡得：2x²-11x-4b=0．
∵直線l與拋物線有唯一交點R（相切），
∴方程2x²-11x-4b=0有兩個相等的實數根
∴判別式△=0，即11²+32b=0，解得b=，
此時原方程的解為x=，即x_R= ，
而y_R=x_R²－2x_R=
∴點R的坐標為R（，）．
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.