Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c+1，
①當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程；
②若c= b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數的圖象與x軸相切？
③若二次函數的圖象與x軸交于點A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x1＜x2 ， 與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足 = ，求二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】解：①二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x= ，
當b=1時， = ，
∴當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程為x= ．
②二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（ ， ），
∵二次函數的圖象與x軸相切且c= b2﹣2b，
∴ ，解得：b=2+ 或b=2﹣ ，
∴b為2+ 或2﹣ 時，二次函數的圖象與x軸相切．
③∵AB是半圓的直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠OAM+∠OBM=90°，
∵∠AOM=∠MOB=90°，
∴∠OAM+∠OMA=90°，
∴∠OMA=∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
∴ ，
∴OM2=OAOB，
∵二次函數的圖象與x軸交于點A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），
∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1x2=﹣（c+1），
∵OM=c+1，
∴（c+1）2=c+1，
解得：c=0或c=﹣1（舍去），
∴c=0，OM=1，
∵二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足 = ，
∴AD=BD，DF=4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
∴ ， ，
∴DE= ，DF= ，
∴ ×4，
∴OB=4OA，即x2=﹣4x1 ，
∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，
∴ ，解得： ，
∴b=﹣ +2= ，
∴二次函數的表達式為y=﹣x2+ x+1．
【解析】①二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x= ，即可得出答案；②二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（ ， ），y由二次函數的圖象與x軸相切且c= b2﹣2b，得出方程組 ，求出b即可；③由圓周角定理得出∠AMB=90°，證出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OAOB，由二次函數的圖象與x軸的交點和根與系數關系得出OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，證明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出 ， ，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1 ， 由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程組 ，解方程組求出b的值即可．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．