Question

【題目】如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為α．在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG．（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE＝DG；（2）如圖3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4，求點G到BE的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點G到BE的距離為．

【解析】

（1）由旋轉的性質得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性質得到AB=AD，AE=AG，然后依據SAS可證明△ABE≌△ADG，然后依據全等三角形的性質進行證明即可；
（2）連接GE、BG，延長AD交GE與H．當α=45°時，可證明△AHE為等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的長，然后依據等腰三角形三線合一的性質可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面積法可求得點G到BE的距離．

(1)由旋轉的性質可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性質可知：AB=AD，AE=AG.

∵在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADG.

∴BE=DG.

(2)連接GE、BG，延長AD交GE與H.

當時,則

∵

∴

又∵AE=AG，

∴AH⊥GE.

又∵AH⊥AB,

∴△AHE為等腰直角三角形,

∴

∴EG=2EH=8.

∴

設點G到BE的距離為h.

即 ,解得

∴點G到BE的距離為