Question

【題目】如圖，內接于，是弧的中點，交于點，且，連接，過點作于點，連接，于，若，，則________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，延長BE交AC的延長線于N，連接OB、OC、BD．首先證明AB=AN，推出AB=8，再證明△OBD是等邊三角形，推出∠BAC=60°，利用勾股定理分別求出BM、BC，再利用△AMF∽△BMC，得=，即可解決問題．

如圖，延長BE交AC的延長線于N，連接OB、OC、BD．

∵=，∴∠EAB=∠EAN．

∵AD⊥BN，∴∠AEB=∠AEN=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠N+∠EAN=90°，∴∠ABE=∠N，∴AB=AN，∴BE=EN．

∵OD⊥BC，∴BH=HC，∴CN=2EH=3，∴AB=AN=AC+CN=8．

∵OH=HD，BH⊥OD，∴BO=BD=OD，∴∠BOD=∠DOC=60°，∴∠BAC=∠BOC=60°．

∵BF⊥AC，∴∠AMB=90°，∴∠ABM=30°．在Rt△AMB中，AM=AB=4，BM=4．在Rt△BMC中，BC===7．

∵∠MAF=∠MBC，∠AMF=∠BMC，∴△AMF∽△BMC，∴=，∴=，∴AF=．

故答案為：．