Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交CD于點E，連接AE、BE．作BF⊥AE于點F．
（1）求證：BF=AD；
（2）若EC= ﹣1，∠FEB=67.5°，求扇形ABE的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，

∴∠AED=∠FAB，

∵BF⊥AE，

∴∠AFB=∠D=90°，

由作圖可知，AB=AE，

在△ABF和△ADE中，

，

∴△ABF≌△ADE（AAS），

∴BF=AD

（2）解：∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE=67.5°，

∴∠EAB=45°，

∴∠DEA=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=AE，

設AE=x，則DE=x﹣ +1，

∴x= （x﹣ +1），

∴x= ，

∴AE= ，

∴扇形ABE的面積= = π

【解析】（1）利用矩形的性質得出AB∥DC，∠D=90°，再利用全等三角形的判定得出△ABF≌△ADE進而得出答案；（2）根據等腰三角形的性質得到∠AEB=∠ABE=67.5°，由三角形的內角和得到∠EAB=45°，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AD=AE，根據等腰直角三角形的性質列方程得到AE=2，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和扇形面積計算公式的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．