Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與一次函數(shù)y=﹣x+4分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）設(shè)P（x，y）是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PH⊥x軸于點(diǎn)H，交直線AB于點(diǎn)M．
①求當(dāng)x取何值時(shí)，PM有最大值？最大值是多少？
②當(dāng)PM取最大值時(shí)，以A、P、M、N為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵一次函數(shù)y=﹣x+4分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，

∴A（0，4），B（4，0），

把A（0，4），B（4，0）代入y=﹣ x2+bx+c可得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4

（2）

解：①如圖1中，設(shè)P（x，﹣ x2+x+4），則M（x，﹣x+4）．

∴PM=﹣ x2+m+4﹣（﹣x+4）=﹣ x2+2x=﹣ （x﹣2）2+2，

∵﹣ ＜0，

∴x=2時(shí)，pM的值最大，最大值為2．

②由①可知P（2，4），M（2，2），

當(dāng)以A、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，N1（0，6），N2（4，2），N3（0，2）．

【解析】（1）由直線解析式可求得A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）①可利用x表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題．②畫出圖形，滿足條件的點(diǎn)N有三個(gè)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．