Question

【題目】已知：如圖，AB平分∠CBD，∠DBC=60°，∠C＝∠D．

（1）若AC⊥BC，求∠BAE的度數；

（2）請探究∠DAE與∠C的數量關系，寫出你的探究結論，并加以證明；

（3）如圖，過點D作DG∥BC交CE于點F，當∠EFG＝2∠DAE時，求∠BAD的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BAE＝=120°;（2）結論：∠DAE＝2∠C—120°.證明見解析；（3）∠BAD＝66°.

【解析】

（1）根據角平分線的性質得到∠CBD＝60°，由于∠BAE是△ABC的外角，則可以得到答案.

（2）根據三角形內角和性質和四邊形內角和，進行計算即可得到答案.

（3）根據對頂角的性質可得∠EFG＝∠DFA，根據平行線的性質得2∠DAE +∠C=180°，

再根據角平分線的性質即可得到答案.

解：∵AC⊥BC

∴∠BCA＝90°,

∵AB平分∠CBD，

∴∠ABC＝∠CBD, ∠CBD＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∵∠BAE是△ABC的外角，

∴∠BAE＝∠BCA+∠ABC=120°.

結論：∠DAE＝2∠C—120°.

證明：∵∠DAE+∠DAC=180°,

∴∠DAC =180°—∠DAE，

∵∠DAC+∠DBC+∠C +∠D =360°,

∴180—∠DAE+∠DBC+∠C +∠D =360°,

∵∠DBC=60°，∠C＝∠D,

∴2∠C—∠DAE=120°,

∴∠DAE＝2∠C—120°.

解：∵∠EFG和∠DFA是對頂角，

∴∠EFG＝∠DFA，

∵∠EFG＝2∠DAE，

∴∠DFA＝2∠DAE，

∵DG∥BC，

∴∠DFA+∠C=180°，

∴2∠DAE +∠C=180°，

∵∠DAE＝2∠C—120°，

∴∠DAE＝48°，

∴∠DAC =132°，

∵AB平分∠CBD，

∴∠DBA＝∠CBA，

∵∠C＝∠D，

∴∠BAD＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC=66°