Question

【題目】已知，如圖（1），PAB為⊙O的割線，直線PC與⊙O有公共點C，且PC2=PA×PB，

（1）求證：∠PCA=∠PBC；直線PC是⊙O的切線；
（2）如圖（2），作弦CD，使CD⊥AB，連接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半徑；

（3）如圖（3），若⊙O的半徑為 ，PO= ，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一點Q，使得PQ+ QM有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵PC2=PA×PB，

∴ ，

∵∠CPA=∠BPC，

∴△PCA∽△PBC，

∴∠PCA=∠PBC，

作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，

∴∠F+∠FCA=90°，

∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，

∴∠PCA+∠FCA=90°，

∵PC經過直徑的一端點C，

∴直線PC是⊙O的切線

（2）

解：作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，

∵CD⊥AB，

∴AE∥CD，

∴ = ，

∴AD=CE=2，

∵BC=6，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：

BE2=CE2+BC2=22+62=40，

∴BE=2 ，

∴R=

（3）

解：取OM中點G，連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q，

連接QO、QM，

∵MO=2，

∴OG= OM=1，

∵⊙O的半徑r=OQ= ，

∴OQ2=OGOM，

∵∠MOQ=∠QOG，

∴△MOQ∽△QOG，

∴ = ，

∴QG= QM，

∴PQ+ QM=PQ+QG=PG，

根據兩點之間線段最短，

此時PQ+ QM=PQ+QG=PG最小，

∴PQ+ QM最小值為PG= = = ．

【解析】（1）根據已知條件得到 ，推出△PCA∽△PBC，根據相似三角形的性質得到∠PCA=∠PBC，作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P過直徑的一端點C，于是得到結論；（2）作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到 = ，根據勾股定理得到BE=2 ，于是得到結論；（3）取OM中點G，連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q，連接QO、QM，得到OG= OM=1，根據相似三角形的性質得到 = ，求得QG= QM，根據兩點之間線段最短，即可得到結論．