Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6），且與直線 相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，求線段PE的最大值；
（3）在（2）的條件，設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PC與BE相互平分時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（4,0），且點(diǎn)B在直線y= x+1上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,3），

∵拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,6）和點(diǎn)（4,3），

∴ ，解得 ，

故拋物線的解析式為y=-x2+ +1.

（2）

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, -x2+ +1）,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x, ）,

∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，且點(diǎn)P在x軸上，

∴PE=PD-ED=（-x2+ +1）-（ ）=-x2+4x=-(x-2)2+4,

∴當(dāng)x=2時(shí)，PE有最大值4.

（3）

解：連接CE，PB，∵PC與BE互相平分，

∴四邊形PECB是平行四邊形，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

解得：x1=1,x2=3.

∵點(diǎn)Q為PC的中點(diǎn)，

∴①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ），

由中點(diǎn)公式可得Q（ ， ），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ）.

②當(dāng)x=3時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3， ），

由中點(diǎn)公式可得Q（ ， ），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ）或（ ， ）.

【解析】（1）拋物線的解析式里有兩個(gè)未知數(shù)，需要兩個(gè)坐標(biāo)的點(diǎn)，已知（2,6），需要求出點(diǎn)B坐標(biāo)，因?yàn)锽C⊥x軸，則B的橫坐標(biāo)為4，代入直線解析式即可求出B的坐標(biāo)，再把（2,6）和B的坐標(biāo)代入拋物線，即可求得；（2）因?yàn)镻D⊥x軸于點(diǎn)D，則PE=PD-DE，且PD=P的縱坐標(biāo)，DE=E的縱坐標(biāo)，可設(shè)P的橫從標(biāo)為x，則可分別表示出P的縱坐標(biāo)，E的縱坐標(biāo)，即可得到PE關(guān)于x的關(guān)系式，求其最值，一般還要注意x的取值范圍；（3）由PC與BE互相平分，可得四邊形PECB是平行四邊形，則PE=BC，由（2）得PE=-x2+4x，構(gòu)造方程解出x的值，再運(yùn)用中點(diǎn)公式（ ， ）求出點(diǎn)Q，或者求出直線PC，再求PC與BE的交點(diǎn)即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．