Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x與反比例函數y= 在第一象限內的圖象交于點A（m，2），將直線y=2x向下平移后與反比例函數y= 在第一象限內的圖象交于點P，且△POA的面積為2．
（1）求k的值．
（2）求平移后的直線的函數解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（m，2）在直線y=2x，

∴2=2m，

∴m=1，

∴點A（1，2），

∵點A（1，2）在反比例函數y= 上，

∴k=2

（2）解：方法一、如圖，

設平移后的直線與y軸相交于B，過點P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y軸

由（1）知，A（1，2），

∴OA= ，sin∠BON=sin∠AOC= = ，

∵S△POA= OA×PM= × PM=2，

∴PM= ，

∵PM⊥OA，BN⊥OA，

∴PM∥BN，

∵PB∥OA，

∴四邊形BPMN是平行四邊形，

∴BN=PM= ，

∵sin∠BON= = = ，

∴OB=4，

∵PB∥AO，

∴B（0，﹣4），

∴平移后的直線PB的函數解析式y=2x﹣4，

方法二、如圖1，過點P作PC⊥y軸交OA于C，

設點P的坐標為（n， ）（n＞1），

∴C（ ， ），∴PC=n﹣ ，

∵△POA的面積為2．A（1，2）

∴S△POA=S△PCO+S△PCA

= （n﹣ ）× + （n﹣ ）（2﹣ ）

= （n﹣ ）×2

=n﹣

=2，

∴n=1﹣ （舍）或n=1+ ，

∴P（1+ ，2 ﹣2）

∴PB∥AO，

∴設直線PB的解析式為y=2x+b，

∵點P在直線PB上，

∴2 ﹣2=2（1+ ）+b，

∴b=﹣4，

∴平移后的直線PB的函數解析式y=2x﹣4，

【解析】（1）由點A的縱坐標求得m，即點A的坐標，把點A的坐標代入反比例函數中即可；（2）方法一、先求出PM，再求出BN然后用銳角三角函數求出OB，即可．方法二、先設出點P的坐標，利用△POA的面積為2．建立方程求出點P的坐標，即可得出結論．