Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABDC中，∠ABC的平分線交AD于點E，過點A作BE的垂線交BE于點F，交BC于點G，連接EG，CF．

（1）求證：四邊形AEGE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC且AD=BC，

∴∠CBE=∠AEB，

∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，∴AB=AE，

∵AF⊥BE，

∴∠AFB=∠GFB=90°，

在△ABF和△GBF中， ，

∴△ABF≌△GBF（ASA），

∴AB=GB，

∴AE=GB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABGE是平行四邊形，

又∵AB=GB，

∴四邊形ABGE是菱形；

（2）

解：過點F作FM⊥BC于點M，如圖所示：

∵四邊形ABGE是菱形，

∴∠GBE= ∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，

在Rt△BFG中，BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4= ×4=2 ，

在Rt△BFM中，FM= BF= ×2 = ，

BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF= ×2 =3，

∴CM=BC﹣BM=5﹣3=2，

∴Rt△FMC中，CF= = = ．

【解析】（1）先證明AB=AE，由ASA證明△ABF≌△GBF，得出AB=GB，因此AE=GB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，即可得出結論；（2）過點F作FM⊥BC于點M，由菱形的性質得出∠GBE= ∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，在Rt△BFG中，由三角函數求出BF=2 ，在Rt△BFM中，求出FM= ，再求出BM=3，得出CM=BC﹣BM=5﹣3=2，Rt△FMC中，由勾股定理即可得出CF的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．