Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

（1）如圖，若α＝90°，根據教材中一個重要性質直接可得 DA＝CD，這個性質是__________.

（2）問題解決：如圖，求證AD＝CD；

（3）問題拓展：如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．

Answer 1

【答案】（1）角平分線上的點到角的兩邊距離相等；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的性質定理解答；

（2）作 DE⊥BA 交 BA 延長線于 E，DF⊥BC 于 F，證明△DEA≌△DFC，根據全等三角形的性質證明；

（3）在 BC 時截取 BK＝BD，連接 DK，根據（2）的結論得到 AD＝DK，根據等腰三角形的判定定理得到 KD＝KC，結合圖形證明．

解：（1）∵BD 平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，

∴DA＝DC（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），

故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；

（2）如圖 2，作DE⊥BA 交 BA延長線于 E，DF⊥BC 于 F，

∵BD 平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，

∴DE＝DF，

∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠C，

在△DEA 和△DFC 中，

∴△DEA≌△DFC（AAS），

∴DA＝DC；

（3）如圖，在 BC 時截取 BK＝BD，連接 DK，

∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠DBK＝∠ABC＝20°，

∵BD＝BK，

∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝80°， 由（2）的結論得 AD＝DK，

∵∠BKD＝∠C+∠KDC，

∴∠KDC＝∠C＝40°，

∴DK＝CK，

∴AD＝DK＝CK，

∴BD+AD＝BK+CK＝BC．