Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以DC為底向正方形外作等腰△DEC，連接AE，以AE為腰作等腰△AEF，使得EA=EF，且∠DEC=∠AEF．

（1）求證：△EDC∽△EAF；

（2）求DE·BF的值；

（3）連接CF、AC，當CF⊥AC時，求∠DEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）DE·BF的值為4；

（3）∠DEC的度數為45°．

【解析】（1）先證兩對對應角相等得出△EDC∽△EAF；（2）利用（1）的結論推出兩邊對應成比例且夾角相等得到△BAF∽△DEA，從而求出DE·BF；（3）

解：（1）∵△AEF和△DEC是等腰三角形，且∠DEC=∠AEF，

∴∠EAF=

∴∠EAF=∠EDC

∴△EDC∽△EAF．

（2）由（1）得△EDC∽△EAF，

∴

∵DC=AB，∴

∵∠DEA=180°-90°-∠EDC-∠DAE=90°-∠EDC-∠DAE，

∠BAF=90°-∠EAF-∠DAE，∴∠BAF=∠DEA

∴△BAF∽△DEA，

∴．即DE·BF=DA·AB=4．

（另法：記∠DEC=∠AEF=α，

∴， ，

∴，

∴）

（3）∵DE=CE，AE=FE，∴△ADE≌△FCE

∴AD=FC=BC

∵△BAF∽△DEA，

∴∠ABF=∠EDA ， ∴∠FBC=∠CDE

∵△CBF和△EDC是等腰三角形，

∴∠BCF=∠DEC

∵CF⊥AC，∴∠ACF=90°

∵∠ACB=45°，∴∠BCF=45°

∴∠DEC=45°．

“點睛”本題考查相似三角形、等腰三角形的性質、全等三角形的性質、正方形的性質，解題的關鍵是熟練應用相似三角形性質解決問題，解題時要注意小題間的聯系，有一定難度，屬于中考壓軸題．