Question

【題目】如圖，平面直角坐標系xOy中，直線AC分別交坐標軸于A，C（8，0）兩點，AB∥x軸，B（6，4）．

（1）求過B，C兩點的拋物線y=ax2+bx+4的表達式；
（2）點P從C點出發以每秒1個單位的速度沿線段CO向O點運動，同時點Q從A點出發以相同的速度沿線段AB向B點運動，其中一個動點到達端點時，另一個也隨之停止運動．設運動時間為t秒．當t為何值時，四邊形BCPQ為平行四邊形；
（3）若點M為直線AC上方的拋物線上一動點，當點M運動到什么位置時，△AMC的面積最大？求出此時M點的坐標和△AMC的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵過B（6，4），C（8，0）兩點的拋物線y=ax2+bx+4．

∴ ，

解得 ．

∴過B、C三點的拋物線的表達式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：如圖2，

由題可得：BQ=6﹣t，CP=t．

當BQ∥CP且BQ=CP時，四邊形BCPQ為平行四邊形．

∴6﹣t=t．

解得：t=3．

（3）

解：過點M作x軸的垂線，交AC于點N，如圖3，

設直線AC的解析式為y=kx+4，

則有8k+4=0．

解得：k=﹣ ．

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4．

設點M的橫坐標為m，

則有yM=﹣ m2+ m+4，yN=﹣ m+4．

∴MN=yM﹣yN

=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）

=﹣ m2+2m．

∴S△AMC=S△AMN+S△CMN

= MNOC

= ×（﹣ m2+2m）×8

=﹣m2+8m

=﹣（m﹣4）2+16．（0＜m＜8）

∵﹣1＜0，

∴當m=4時，S△AMC取到最大值，最大值為16，此時點M的坐標為（4，6）．

【解析】（1）用待定系數法就可求出過B，C三點的拋物線的表達式．（2）若四邊形BCPQ為平行四邊形，則有BQ=CP，從而建立關于t的方程，就可求出t的值．（3）過點M作x軸的垂線，交AC于點N，設點M的橫坐標為m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN= MNOC可以得到S△AMC=﹣（m﹣4）2+16．然后利用二次函數的最值性就可解決問題