Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C，其頂點記為M，自變量x=﹣1和x=5對應的函數值相等．若點M在直線l：y=﹣12x+16上，點（3，﹣4）在拋物線上．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設y=ax2+bx+c對稱軸右側x軸上方的圖象上任一點為P，在x軸上有一點A（﹣ ，0），試比較銳角∠PCO與∠ACO的大�。ú槐刈C明），并寫出相應的P點橫坐標x的取值范圍．
（3）直線l與拋物線另一交點記為B，Q為線段BM上一動點（點Q不與M重合），設Q點坐標為（t，n），過Q作QH⊥x軸于點H，將以點Q，H，O，C為頂點的四邊形的面積S表示為t的函數，標出自變量t的取值范圍，并求出S可能取得的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵自變量x=﹣1和x=5對應的函數值相等，

∴拋物線的對稱軸為x=2．

∵點M在直線l：y=﹣12x+16上，

∴yM=﹣8．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．

將（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8

（2）

解：由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如圖，當∠PCO=∠ACO時，過P作PH⊥y軸于H，

設CP的延長線交x軸于D，

則△ACD是等腰三角形，

∴OD=OA= ，

∵P點的橫坐標是x，

∴P點的縱坐標為4x2﹣16x+8，

∵PH∥OD，

∴△CHP∽△COD，

∴ ，

∴x= ，

過C作CE∥x軸交拋物線與E，

則CE=4，

設拋物線與x軸交于F，B，

則B（2+ ，0），

∴y=ax2+bx+c對稱軸右側x軸上方的圖象上任一點為P，

∴當x= 時，∠PCO=∠ACO，

當2+ ＜x＜ 時，∠PCO＜∠ACO，

當 ＜x＜4時，∠PCO＞∠ACO

（3）

解：解方程組 ，

解得： ，

∴D（﹣1，28），

∵Q為線段BM上一動點（點Q不與M重合），

∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①當﹣1≤t＜0時，S= （﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，

∴當t=﹣1時，S最大=18；

②當0＜t＜ 時，S= t8+ t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵0＜t＜ ，

∴當t=﹣1時，S最大=6；

③當 ＜t＜2時，S= t8+ （12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣ ）2﹣ ，

∵ ＜t＜2，

∴此時S為最大值．

【解析】（1）根據已知條件得到拋物線的對稱軸為x=2．設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得拋物線的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到結論；（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），如圖，當∠PCO=∠ACO時，過P作PH⊥y軸于H，設CP的延長線交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA= ，根據相似三角形的性質得到x= ，過C作CE∥x軸交拋物線與E，則CE=4，設拋物線與x軸交于F，B，則B（2+ ，0），于是得到結論；（3）解方程組得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①當﹣1≤t＜0時，②當0＜t＜ 時，③當 ＜t＜2時，求得二次函數的解析式即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．