Question

【題目】如圖所示，在正方形ABCD中，點E是邊AB上一動點(不與A，B重合)，延長BA至點F，使AF=BE，連接CE，DF．

(1) 判斷四邊形CEFD的形狀，并說明理由；

(2) 如圖①，連接AC，過點E作EH⊥AC，垂足為點H．

①證明：AH=EH；

②若BE：AE=1：，求∠BCE的度數；

③如圖②，連接FH，在點E的運動過程中，的值是否發生變化？若不變，求出的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)平行四邊形，證明詳見解析； (2)①詳見解析； ②22.5°；③不變，．

【解析】

（1）由AF=BE，得出AB=EF．由正方形的性質得出CD=AB=BC，CD∥AB，即可證出四邊形CEFD是平行四邊形；

（2）①由正方形的性質，得到∠EAH=45°，由∠AHE=90°，則△AEH是等腰直角三角形，即可得到AH=EH；

②由等腰三角形的性質，得到，則BE=EH，然后證明△BCE≌△HCE，即可得到答案；

③由，∠EAH=∠HEA=45°，得到△ACE∽△EFH，即可得到．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=AB=BC，CD∥AB．

∵AF=BE，

∴AB=EF．

∴CD=EF，CD∥EF．

∴四邊形CEFD是平行四邊形．

（2）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EAH=45°，

∵EH⊥AC，

∴∠AHE=90°，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AH=EH；

②∵△AEH是等腰直角三角形，

∴，

∵BE：AE=1：，

∴，

∴，

∵CE=CE，∠B=∠CHE=90°，

∴△BCE≌△HCE（HL），

∴∠BCE=∠HCE，

∵∠BCH=45°，

∴∠BCE=22.5°；

③由△AEH是等腰直角三角形，

∴∠EAH=∠HEA=45°，

在等腰直角△ABC中，有，

∵，

∴；

∵，

∴，

∴，

∴△ACE∽△EFH，

∴；

∴的值不變，．