Question

如圖，已知二次函數y=ax²+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0）兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．
（1）求此二次函數的解析式，并寫出它的對稱軸；
（2）若直線l：y=kx（k＞0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若直線l′：y=m與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可得到待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式和對稱軸方程；
（2）易知A、B、C的坐標，即可得到AB、BC、OB的長，若以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似，則有兩種情況：△OBD∽△ABC或△DBO∽△ABC，根據相似三角形所得比例線段，即可求得BD的長，易知△OBC是等腰直角三角形，那么△OBD也是等腰直角三角形，即可由BD的長求出DE、BE的值，從而確定點D的坐標；
（3）由于以MN為直徑的圓與x軸相切，那么圓心的縱坐標的絕對值等于MN的一半也就是圓的半徑，所以可利用拋物線的對稱軸和圓的半徑表示出M或N的坐標，然后代入拋物線的解析式中，即可求得此圓的半徑長．

解答：解：（1）把點A（-1，0）、B（3，0）的坐標代入解析式中，得：

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，（1分）
解得

a=-1 b=2

；
∴解析式為y=-x²+2x+3，（2分）
對稱軸為直線x=1；（3分）

（2）∵點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，OA=1，BC=3

2

，AB=4，
∠OCB=∠OBC=45°，tan∠CAO=3；（4分）
若△OBD∽△ABC，則

OB

BA

=

BD

BC

，（5分）
∴

3

4

=

BD

3 2

，BD=

9 2

4

，過D作DE⊥x軸于點E，
則DE=

2

2

•

9 2

4

=

9

4

，OE=OB-BE=OB-DE=3-

9

4

=

3

4

，
∴D (

3

4

， 

9

4

)；（6分）
若△DBO∽△ABC，則

OB

BC

=

BD

BA

，（7分）
∴

3

3 2

=

BD

4

，BD=2

2

，過D作DE⊥x軸于點E，
則DE=

2

2

•2

2

=2，OE=OB-BE=OB-DE=3-2=1，
∴D（1，2）（8分）
即D (

3

4

， 

9

4

)或D（1，2）；

（3）如圖，①當直線MN在x軸上方時
設圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，r），（9分）
代入拋物線的表達式，
解得r=

-1+ 17

2

（10分）
②當直線MN在x軸下方時，
設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，-R），（11分）
代入拋物線的表達式，
解得R=

1+ 17

2

（12分）
∴圓的半徑為

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質、直線與圓的位置關系等知識，同時還應用了分類討論的數學思想，綜合性強，難度較大．